Смешанное соединение конденсаторов. Соединение конденсаторов в батарею
5.1 Электроемкость характеризует способность проводников или системы из нескольких проводников накапливать электрические заряды.
Различают электроемкость уединенного проводника, системы проводников (в частности, конденсаторов).
Уединенным называется проводник, расположенный вдали от других заряженных и незаряженных тел так, что они не оказывают на этот проводник никакого влияния.
Электроемкость уединенного проводника - физическая величина, равная отношению электрического заряда уединенного проводника к его потенциалу С =q/ φ
В СИ единицей электроемкости является Фарад (Ф).
1 Ф очень большая единица емкости, применяют дольные единицы:
1 пФ (пикоФарад) = 10-12Ф, 1 нФ (наноФарад) = 10-9Ф, 1 мкФ (микроФфарад) = 10-6Ф и т.д.
Электроемкость проводника не зависит от рода вещества и заряда, но зависит от его формы и размеров, а также от наличия вблизи других проводников или диэлектриков.
Обычно на практике имеют дело с двумя и более проводниками, тк. их электрическая емкость больше,чем у уединенного проводника.
Два проводника, разделенных слоем диэлектрика называются конденсатором.
Конденсатор - это прибор, служащий для накопления электрических зарядов (эл.энергии).
Самый простой конденсатор - плоский (две пластины, разделенные диэлектриком - воздухом, промасленнойбумагой и т.п.) При небольших размерах конденсатор отличается значительной емкостью, не зависящей от наличия вблизи него других зарядов или проводников.
Обкладкам конденсатора сообщают одинаковые по модулю, но противоположные по знаку заряды, что способствует накоплению зарядов, так как разноименные заряды притягиваются и поэтому располагаются на внутренних поверхностях пластин. Под зарядом конденсатора понимают заряд одной пластины.
Электроемкостью конденсатора называют физическую величину, численно равную отношению заряда конденсатора к разности потенциалов между его обкладками: С =q/ Δφ
Для плоского конденсатора емкость можно вычислить по формуле C = ε 0 ε S/d
где S - площадь пластины (обкладки),
d - расстояние между пластинами,
ε - диэлектрическая проницаемость вещества, находящегося между обкладками конденсатора,
ε 0 = 8,85 *10 -12 Ф/м - электрическая постоянная
Таким образом, емкость плоского конденсатора зависит от площади обкладок, расстояния между ними и диэлектрической проницаемости диэлектрика, заполняющего пространство между обкладками конденсатора, но не зависит от материала, из которого эти пластины изготовлены.
Энергия заряженного конденсаторв E эл.= CU 2 /2 =q 2 /(2C)
Конденсаторы можно классифицировать по следующим признакам и свойствам:
1. по назначению - конденсаторы постоянной и переменной емкости;
2. по форме обкладок различают конденсаторы плоские, сферические, цилиндрические и др.;
3. по типу диэлектрика - воздушные, бумажные, слюдяные, керамические, электролитические и т.д.
Соединение конденсаторов
Для получения необходимой емкости конденсаторы соединяют между собой в батареи, применяя при этом параллельное, последовательное и смешанное соединения.
При параллельном соединении конденсаторов соединяются между собой одноименные обкладки в один узел,.
Общий заряд равен алгебраической сумме зарядов каждой из обкладок отдельных конденсаторов: q=q 1 +q 2 +q 3
Разность потенциалов между обкладками всех конденсаторов одинакова: U=U 1 =U 2 =U 3
Емкость батареи параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов. C = C 1 +C 2 +C 3
Если между обкладками плоского конденсатора находятся два различных диэлектрика, причем первый занимает часть площади S1 а второй - часть площади S2 (например, воздушный конденсатор частично погружен в керосин, то такую систему можно рассматривать как два параллельно соединенных конденсатора.
При последовательном соединении конденсаторов между собой соединяются разноименные обкладки..
Заряды всех обкладок будут одинаковыми (по величине) q=q 1 =q 2 =q 3
Напряжение на батарее равно сумме напряжений на всех конденсаторах: U=U 1 +U 2 +U 3
Величина, обратная емкости батареи последовательно соединенных конденсаторов, равна сумме величин, обратных емкостям отдельных конденсаторов. 1/C = 1/C 1 +1/C 2 +1/C 3
1. Наибольшая емкость конденсатора 60 мкФ. Какой заряд он накопит при подключении источника постоянного напряжения 60В?
2.При введении в пространство между пластинами воздушного конденсатора твердого диэлектрика напряжение на конденсаторе уменьшилось с 400 до 100 В. Какова диэлектрическая проницаемость диэлектрика?
3. Емкость батареи конденсаторов, образованной двумя последовательно включенными конденсаторами, 100 пФ, а заряд 20 нКл. Определите емкость второго конденсатора, а также разность потенциалов на обкладках каждого из них, если емкость первого 200 пФ.
4.Определите емкость батареи конденсаторов, изображенной на рисунке. Емкость каждого конденсатора 10 мкФ.
5.Конденсатору емкостью 20 мкФ сообщили заряд 5 мкКл. Какова энергия заряженного конденсатора?
Тема 6. Постоянный электрический ток. Законы Ома для участка и для полной цепи. Короткое замыкание.
6.1 .Электрический ток - это направленное движение свободных, заряженных частиц, под действием электрического поля.
УСЛОВИЯ:
1.Проводник (свободные заряды) Свободные заряды являются носителями тока.
2. Электрическое поле. Эл.поле необходимо для того, чтобы привести в движение свободные заряды.
Оба эти условия, являются необходимыми для создания тока. Если не выполняется хоть одно условие – тока в цепи не будет.
Основными характеристиками тока и цепи являются:
Напряжение- разность потенциалов между концами проводника(U - единицы измерения В)
Сопротивление(характеристика самой цепи)-величина, характеризующая противодействие проводника прохождению по нему электрического тока(R - единицы измерения Ом)
Сила тока - заряд проходящий через поперечное сечение проводника за единицу времени (I – единицы измерения А)
Если сила тока со временем не изменяется, электрический ток называют постоянным током.
Участком цепи называется часть, фрагмент цепи, для которого не обязательно известно откуда возникло напряжение на зажимах
Закон Ома для участка цепи .
Сила тока в цепи пропорциональна напряжению на концах участка цепи и обратно пропорциональна сопротивлению этого участка. I= U/R
6.2.Простейшая полная цепь постоянного тока состоит из источника тока и нагрузки (резистора). Такая цепь обязательно замкнутая.
Источник тока - это устройство в котором происходит разделение зарядов за счет работы сторонних сил, имеющих неэлектрическую природу(например химические, механические).
Основная характеристика источника - его электродвижущая сила – ЭДС. Она равна максимальному напряжению, которое создает источник в цепи.
Электрическое сопротивление источника тока называется внутренним сопротивлением .
Электрическое сопротивление всей цепи без источника питания называется внешним сопротивлением цепи. Соответствующие напряжения называются внутренним и внешним напряжением в цепи, а участки- внешним и внутренним участками цепи.
Закон Ома для полной цепи. I = ε / (R + r)
Сила тока в электрической цепи прямо пропорциональна электродвижущей силе источника тока и обратно пропорциональна сумме электрических сопротивлений внешнего и внутреннего участка цепи.
При замыкании источника питания самого на себя(накоротко) возникает короткое замыкание. При этом сила тока возрастает в несколько раз. I кз = ε /r
Задачи:
1. Сопротивление источника тока 0,5 Ом, его ЭДС 24 В. Определите ток возникнет в цепи при подключении нагрузки 9,5 Ом.
2. Источник тока с внутренним сопротивлением 1 Ом, присоединенный к цепи с сопротивлением 5 Ом дает ток 0,2 А. Определите ЭДС источника тока, напряжение на внешнем участке цепи и силу тока при коротком замыкании.
3. К источнику тока с ЭДС 16 В и внутренним сопротивлением 0,5 Ом подключено внешнее сопротивление. Чему оно равно, если сила тока при этом равна 2 А? Определите внутреннее и внешнее напряжение в цепи.
4. Батарея сЭДС 30 В создает ток 3 А. Напряжение на зажимах цепи 20 В. Найдите сопротивление нагрузки и внутреннее сопротивление батареи.
5. ЭДС батарейки 1,5 В. Ток короткого замыкания равен 30 А. Чему равно внутреннее сопротивление батарейки? Каким будет напряжение на его полюсах, если подключить нагрузку сопротивлением 1 Ом?
Система из нескольких конденсаторов называется батареей. Рассмотрим два типа соединения конденсаторов в батарею.
Параллельное соединение (рис. 90).
У параллельно соединенных конденсаторов разность потенциалов на обкладках одинакова и равна (φ А – φ В). Если емкости конденсаторов С 1 , С 2 , …С n , то
Q 1 = C 1 (φ А – φ В)
Q 2 = C 2 (φ А – φ В)
Q 3 = C 3 (φ А – φ В)
. . . . . . . . . . . . .
Q n = C n (φ А – φ В).
Заряд батареи будет равен сумме зарядов Q = = (C 1 +C 2 +. . .+C n)(φ А –φ В).
Полная емкость батареи будет равна
С
=
= (C 1
+ C 2
+ . . . + C n) =
.
Последовательное соединение (рис. 91)
У последовательно соединенных конденсаторов заряды всех обкладок равны по модулю, а разность потенциалов на зажимах батареи Δφ равна
Δφ
=
,
где
разность потенциалов для любого из
рассматриваемых конденсаторов равна
.
Таким образом, разность потенциалов батареи конденсаторов будет
По
определению
,
откуда получаем
При последовательном соединении суммируются обратные величины емкостей и результирующая емкость батареи С всегда меньше наименьшей емкости, используемой в батарее.
Энергия зарядов, проводников, конденсаторов и электростатического поля. Объемная плотность энергии
Энергия системы точечных неподвижных зарядов . Электростатические силы консервативны и система зарядов обладает потенциальной энергией. Пусть заряды Q 1 и Q 2 находятся на расстоянии r друг от друга. Каждый из этих зарядов в поле другого обладает потенциальной энергией
где φ 12 и φ 21 – соответственно потенциалы, создаваемые зарядом Q 2 в точке нахождения заряда Q 1 , и наоборот.
;
.
Поэтому W 1 = W 2 =W = Q 1 φ 12 = Q 2 φ 21 = ½ (Q 1 φ 12 + Q 2 φ 21).
Добавляя к системе из двух зарядов последовательно заряды Q 3 , Q 4 , …, Q n , можно убедиться, что энергия взаимодействия системы зарядов равна
,
где φ i – потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд Q i , всеми зарядами, кроме i-го.
Энергия заряженного уединенного проводника . Пусть имеется уединенный проводник, заряд, емкость и потенциал которого Q, C, φ.
Увеличим заряд на dQ. Для этого необходимо перенести заряд dQ из бесконечности к поверхности проводника, затратив на это работу, равную
dA = φdQ = C φd φ
Чтобы зарядить тело от нулевого потенциала до потенциала равного φ необходимо совершить работу
Энергия заряженного проводника будет равна этой работе
Учитывая,
что
,
эту энергию можно представить в виде
Энергия заряженного конденсатора . Как всякий заряженный проводник, конденсатор обладает энергией
где Q - заряд конденсатора, С – его емкость и Δφ – разность потенциалов между обкладками.
Используя
выражение для энергии, можно найти
механическую (пондеромоторную) силу, с
которой пластины конденсатора притягивают
друг друга. Для этого предположим, что
расстояние х между пластинами меняется
на величину dx.
Тогда действующая сила совершает работу
равную dA
=Fdx
за счет уменьшения потенциальной энергии
Fdx
= - dW,
откуда
.
Подставляя
в формулу энергии
выражение емкости
,
получим
.
Дифференцируя W по х , найдем силу F
,
где
знак “минус“ указывает, что сила F
стремится уменьшить расстояние между
пластинами, т.е. является силой притяжения.
Подставляя выражение плотности зарядов
на пластинках
,
получим
.
Учитывая
напряжённость поля, что Е =
,
получим
.
Давление на пластины диэлектрика, помещенные в зазоре конденсатора, будет
Получим ,
где V – объем пространства между пластинами конденсатора, в котором сосредоточена энергия его поля W.
Объемная плотность энергии поля w – это энергия, заключённая в единице объёма электрического поля и она равна
.
Единица измерения [Дж/м 3 ].
Видно, что объемная плотность энергии поля зависит только от характеристик поля и среды.
Все внутренние обкладки при последовательном соединении электризуются через влияние. Их заряды равны
по величине, но противоположны по знаку (½+q½=½-q½ = q; рис. 12).
Следовательно, заряды на всех конденсаторах при последовательном их соединении равны, а потенциалы складываются,
Dj = j 1 - j 2 = Dj 1 + Dj 2 + ... + Dj n ,
где .
Следовательно, . (17)
Параллельное соединение конденсаторов
Рис. 13 |
При параллельном соединении все конденсаторы имеют постоянную разность потенциалов
j 1 - j 2 = сonst. Полный заряд батареи конденсаторов (рис. 1.31): q = q 1 + q 2 +...+ q n
По определению емкость батареи конденсаторов ,
Следовательно,
С = С 1 + С 2 + ... + С n . (18)
Энергия электрического поля
Энергия взаимодействия электрических зарядов
Известно, что dW 12 = - dA 12 . Для системы из трех зарядов
dW = - d(W 12 + W 13 + W 23)= - dA,
W = W 12 + W 13 + W 23 . (19)
Это положение остается справедливым и для произвольной системы точечных зарядов. Для нахождения энергии взаимодействия системы N точечных зарядов формулу (19) представим в виде
, где W ij = W ji .
Следовательно, ,
где W i - энергия взаимодействия i-го заряда с остальными зарядами.
Известно, что W i = q i j i , где q i - i-й заряд системы; j i - результирующий потенциал, создаваемый всеми остальными зарядами системы вместе нахождения заряда q i . Таким образом,
. (20)
Полная энергия системы зарядов
Если заряды распределены по объему с объемной плотностью заряда r, то систему зарядов можно представить как совокупность элементарных зарядов dq = rdV, т. е. dW = j dq = j rdV.
С учетом этого формула (20) после интегрирования принимает вид
, (21)
где j - потенциал, созданный всеми зарядами в элементарном объеме dV.
Если заряды распределены с поверхностной плотностью заряда s, то
. (22)
Формулы (21) и (22) позволяют найти полную энергию системы, а формула (20) - только собственную энергию заряда. Действительно, согласно (21), W = W 1 + W 2 + W 12 , где W 1 , W 2 - собственные энергии заряда q 1 и q 2 ; W 12 - энергия взаимодействия этих зарядов.
Энергия системы заряженных проводников
Используя формулу (21) найдем энергию изолированного (уединенного) проводника. Если проводник имеет заряд q и потенциал j = сonst во всех точках, где распределен заряд, то
. (23)
Так как для плоского конденсатора (два заряженных проводника)
, (24)
где ½+q½=½-q½= q; Dj - разность потенциалов между положительно и отрицательно заряженными обкладками конденсатора; W - полная энергия взаимодействия не только зарядов одной обкладки с зарядами другой, но и энергия взаимодействия зарядов внутри каждой из обкладок.
Формула (24) остается справедливой и при наличии диэлектрика между обкладками конденсатора.
Если использовать емкостные коэффициенты, то
. (25)
Энергия электрического поля
Для нахождения энергии мы использовали только заряды и потенциалы. Основной характеристикой электрического поля является вектор напряженности . Тогда энергию электрического поля между обкладками плоского конденсатора можно найти, преобразуя формулу (23) с учетом того, что Dj = Еd; .
После подстановки получим
. (26)
С учетом диэлектрика между обкладками конденсатора
. (27)
Известно, что электрическое поле является частным случаем электромагнитного поля, которое может существовать отдельно от источников поля, т.е. распространение электромагнитных волн в пространстве связано с переносом энергии.
Следовательно, электростатическое поле имеет энергию, распределенную в нем с объемной плотностью w эл.
В случае однородного электрического поля
Если электрическое поле неоднородно, то
где .
В этом случае объемная плотность энергии электрического поля
. (29)
Следовательно, полная энергия электрического поля
. (30)
Таким образом, в отличие от гравитационного поля электростатическое (электромагнитное) поле характеризуется объемной плотностью энергии, и можно говорить о локализации электрической энергии в пространстве.
Во многих случаях для получения нужной электроемкости конденсаторы приходится соединять в группу, которая называется батареей .
Последовательным называется такое соединение конденсаторов, при котором отрицательно заряженная обкладка предыдущего конденсатора соединена с положительно заряженной обкладкой последующего (рис. 15.31). При последовательном соединении на всех обкладках конденсаторов будут одинаковые по величине заряды q. Так как заряды на конденсаторе находятся в равновесии, то потенциалы обкладок, соединённых между собой проводниками, будут одинаковыми.
Учитывая эти обстоятельства, выведем формулу для вычисления электроемкости батареи последовательно соединенных конденсаторов. Из рис. 15.31 видно, что напряжение на батарее U 6 равно сумме напряжений на последовательно соединенных конденсаторах. Действительно:
(ϕ 1 ‒ ϕ 2) + (ϕ 2 ‒ ϕ 3) + … + (ϕ n-1 ‒ ϕ n) = ϕ 1 ‒ ϕ n
U 1 + U 2 + … + U n = U 6
Используя соотношения q= CU, получим:
После сокращения на q будем иметь:
Из (15.21) видно, что при последовательном соединении электроемкость батареи оказывается меньше самой маленькой из электроемкостей отдельных конденсаторов .
Параллельным называется соединение конденсаторов, при котором все положительно заряженные обкладки присоединены к одному проводу, а отрицательно заряженные - к другому (рис. 15.32). В этом случае напряжения на всех конденсаторах одинаковы и равны U, а заряд на батарее q б равен сумме зарядов на отдельных конденсаторах:
q б = q 1 + q 2 + … = q n
C б U = C 1 U + C 2 U + … + C n U
После сокращения на и получаем формулу для вычисления электроемкости батареи параллельно соединенных конденсаторов :
C б = C 1 + C 2 + … + C n (15.22)
Из (15.22) видно, что при параллельном соединении электроемкость батареи получается больше, чем самая большая из электроемкостей отдельных конденсаторов. При изготовлении конденсаторов большой электроемкости пользуются параллельным соединением, изображенным на рис. 15.33. Такой способ соединения дает экономию в материале, так как заряды располагаются с обеих сторон обкладок конденсаторов (кроме двух крайних обкладок).
На рис. 15.33 соединено параллельно 6 конденсаторов, а обкладок сделано 7. Следовательно, в этом случае параллельно соединенных конденсаторов на один меньше, чел число металлических листов п в батарее конденсаторов, т. е.
C б = Ɛ C S(n ‒ 1)/d (15.23)