Соединение конденсаторов энергия электрического поля. Энергия заряженного конденсатора. Применение конденсаторов — Гипермаркет знаний. Энергия системы неподвижных точечных зарядов
Формулу можно рассматривать как взаимную потенциальную энергию зарядови, находящихся на расстоянии(рис.1).
Энергия заряженных проводника и конденсатора
Многие электронные схемы питаются от батарей. Однако все чаще инженеры рассматривают конденсаторы как еще один вариант для обеспечения энергии по мере необходимости для всех или частей таких схем. Энергия может храниться различными способами. Когда вы возвращаетесь на рогатку, энергия из ваших мышц сохраняется в ее эластичных полосах. Когда вы завершаете игрушку, энергия накапливается весной. Вода, удерживаемая за плотиной, в некотором смысле является запасенной энергией. Поскольку эта вода течет под гору, она может приводить в движение водяное колесо.
Если мы теперь в поле двух зарядов ивнесем третий заряд, то благодаря свойству аддитивности энергии взаимодействий, получим:
Энергия системы неподвижных точечных зарядов
Или он может двигаться через турбину для выработки электроэнергии. Когда дело доходит до схем и электронных устройств, энергия обычно хранится в одном из двух мест. Во-первых, аккумулятор, хранит энергию в химикатах. Конденсаторы являются менее распространенной альтернативой. Они хранят энергию в электрическом поле.
В любом случае накопленная энергия создает электрический потенциал. Электрический потенциал, как следует из названия, может управлять потоком электронов. Такой поток называется электрическим током. Этот ток может использоваться для питания электрических компонентов в цепи.
.
Преобразуем эту сумму следующим образом.
Представим каждое слагаемое
в симметричном виде:
,
поскольку
.
Тогда
Эти схемы встречаются во все возрастающем разнообразии повседневных вещей: от смартфонов до автомобилей до игрушек. Инженеры предпочитают использовать батарею или конденсатор на основе схемы, которую они разрабатывают, и того, что они хотят от этого элемента. Они могут даже использовать комбинацию батарей и конденсаторов. Однако устройства не являются полностью взаимозаменяемыми.
Батареи бывают разных размеров. Некоторые из самых маленьких устройств, таких как слуховые аппараты. Чуть более крупные идут в часы и калькуляторы. Еще более крупные управляют фонариками, ноутбуками и транспортными средствами. Некоторые, например, используемые в смартфонах, специально разработаны для установки только в одном конкретном устройстве. Некоторые батареи предназначены для выброса в первый раз, когда они теряют электроэнергию. Другие перезаряжаемые и могут разряжаться много, много раз.
Сгруппируем члены с одинаковыми первыми индексами:
Каждая сумма в круглых скобках – это энергия взаимодействия-го заряда с остальными зарядами.
Поэтому можно последнее выражение переписать так:
Батареи, одна из форм хранения энергии, жизненно важны для многих устройств, которые не могут быть подключены к электрической розетке. Типичная батарея состоит из корпуса и трех основных компонентов. Это липкая паста или жидкость, которая заполняет промежуток между электродами.
Электролит может быть изготовлен из различных веществ. Но каков бы ни был его рецепт, это вещество должно иметь возможность проводить ионы - заряженные атомы или молекулы - не позволяя электронам проходить. Это заставляет электроны покидать аккумулятор через клеммы, которые соединяют электроды с контуром.
Обобщим это выражение на систему,
состоящую из
точечных зарядов
.
Итак, энергия взаимодействия системы
точечных зарядов
Когда цепь не включается, электроны не могут двигаться. Это предотвращает химические реакции на электродах. Это, в свою очередь, позволяет хранить энергию до тех пор, пока она не понадобится. Отрицательный электродвигатель батареи называется анодом. Когда аккумулятор подключен к сети переменного тока, на поверхности анода происходят химические реакции. В этих реакциях нейтральные атомы металла выделяют один или несколько электронов. Это превращает их в положительно заряженные атомы или ионы. Электроны вытекают из батареи, чтобы выполнять свою работу в цепи.
(3.1)
Имея в виду, что
,
где-i-ый заряд системы,
- потенциал, создаваемый всеми зарядами,
кроме,
в той точке, где находится заряд,
получим окончательное выражение:
Между тем, ионы металлов протекают через электролит к положительному электроду, называемому катодом. На катоде ионы металлов получают электроны, когда они возвращаются в батарею. Это позволяет ионам металлов снова стать электрически нейтральными атомами.
Анод и катод обычно изготовлены из разных материалов. Как правило, катод содержит материал, который очень легко отдает электроны, такие как литий. Графит, форма углерода, очень сильно держится на электронах. Это делает его хорошим материалом для катода. Чем больше разница в поведении электронного захвата между анодом батареи и катодом, тем больше энергии может удерживать батарея.
(3.2)
Если заряды распределены непрерывно,
то, разлагая систему зарядов на
совокупность элементарных зарядов
и переходя от суммирования в (3.2) к
интегрированию, получаем
,
(3.3)
По мере развития небольших и меньших продуктов инженеры стремились создавать небольшие, но все же мощные батареи. И это означало упаковывать больше энергии в более мелкие пространства. Одним из показателей этой тенденции является плотность энергии. Это рассчитывается путем деления количества энергии, хранящейся в батарее, на объем батареи. Батарея с высокой плотностью энергии помогает сделать электронные устройства легче и легче переносить. Это также помогает им продлеваться до одного заряда.
Батареи могут хранить много энергии в небольшом объеме, иногда с трагическими последствиями. Однако в некоторых случаях высокая плотность энергии также может сделать устройства более опасными. В новостных отчетах было несколько примеров. Некоторые смартфоны, например, загорелись. В некоторых случаях электронные сигареты взорвались. Многие из этих событий были связаны с взрывающимися батареями. Большинство батарей абсолютно безопасны. Но иногда могут быть внутренние дефекты, которые вызывают взрывную энергию внутри батареи.
где
- потенциал, создаваемый всеми зарядами
системы в элементе объемом
.
2 Энергия заряженных проводника и конденсатора
Энергия уединенного проводника
.
Пусть проводник имеет заряди потенциал.
Поскольку
на поверхности проводника, получим
Те же самые разрушительные результаты могут возникнуть, если аккумулятор перегружен. Вот почему инженеры должны быть осторожны, чтобы проектировать схемы, которые защищают батареи. В частности, батареи должны работать только в диапазоне напряжений и токов, для которых они были разработаны.
Со временем батареи могут потерять способность удерживать заряд. Это происходит даже с некоторыми перезаряжаемыми батареями. Исследователи всегда ищут новые проекты для решения этой проблемы. Но как только батарею нельзя использовать, люди обычно отбрасывают ее и покупают новую. Поскольку некоторые батареи содержат химические вещества, которые не являются экологически чистыми, они должны быть переработаны. Это одна из причин, по которой инженеры искали другие способы хранения энергии. Во многих случаях они начали смотреть на конденсаторы.
Учитывая, что
(3.4)
Любое из этих выражений определяет энергию заряженного проводника.
Энергия заряженного конденсатора . Предположим, что (+) и- заряд и потенциал положительно заряженной обкладки конденсатора, (-) и- отрицательно заряженной обкладки (рис. 2).
Конденсаторы могут выполнять различные функции. В схеме они могут блокировать поток постоянного тока, но пропускать переменный ток. В некоторых схемах конденсаторы помогают настроить радио на определенную частоту. Но все больше и больше инженеров также хотят использовать конденсаторы для хранения энергии.
Конденсаторы имеют довольно простой дизайн. Самые простые из них состоят из двух компонентов, которые могут проводить электричество, которые мы будем называть проводниками. Разрыв, который не проводит электричество, обычно отделяет эти проводники. При подключении к живой цепи электроны поступают в конденсатор и выходят из него. Те электроны, которые имеют отрицательный заряд, хранятся на одном из проводников конденсатора. Электроны не будут течь через промежуток между ними. Тем не менее, электрический заряд, который накапливается на одной стороне зазора, влияет на заряд с другой стороны.
Согласно формуле (3.3) интеграл можно разбить на две части – для одной и другой обкладок. Тогда
Приняв во внимание, что
,
получим для энергии заряженного
конденсатора три выражения:
(3.5)
И все же конденсатор остается электрически нейтральным. Другими словами, проводники с каждой стороны щели развивают равные, но противоположные заряды. Конденсаторы, некоторые из которых показаны выше, используются для хранения энергии в электронных устройствах и схемах.
Количество энергии, которую может хранить конденсатор, зависит от нескольких факторов. Чем больше поверхность каждого проводника, тем больше заряда он может хранить. Кроме того, чем лучше изолятор в зазоре между двумя проводниками, тем больше заряда может быть сохранено.
3 Энергия и плотность энергии электрического поля
Выразим энергию заряженного плоского конденсатора через напряженность электрического поля. Подставим в формулу
выражение
,
получим
В некоторых ранних конструкциях конденсаторов проводники были металлическими пластинами или дисками, разделенными ничем, кроме воздуха. Но те ранние проекты не могли содержать столько энергии, сколько хотелось бы инженерам. В более поздних конструкциях они начали добавлять непроводящие материалы в зазор между проводящими пластинами. Ранние примеры этих материалов включали стекло или бумагу. Иногда использовался минерал, известный как слюда. Сегодня дизайнеры могут выбрать керамику или пластмассы в качестве своих непроводящих материалов.
.
Поскольку
и
(объем между обкладками конденсатора),
то
.
Аккумулятор может хранить в тысячи раз больше энергии, чем конденсатор с одинаковым объемом. Батареи также могут обеспечивать эту энергию устойчивым, надежным потоком. Но иногда они не могут обеспечить энергию так быстро, как это необходимо. Возьмите, к примеру, вспышку в камере. Для очень яркой вспышки света требуется очень много энергии за очень короткое время. Таким образом, вместо батареи, схема в флэш-приложении использует конденсатор для хранения энергии. Этот конденсатор получает энергию от батарей в медленном, но постоянном потоке.
Как будет показано в следующей главе,
вспомогательной характеристикой поля
в веществе является вектор электрического
смещения
,
который связан с вектором напряженности
электрического полясоотношением
.
Когда конденсатор полностью заряжен, загорается «готовый» свет вспышки. Когда снимок сделан, этот конденсатор быстро разряжает свою энергию. Затем конденсатор начинает заряжаться снова. Поскольку конденсаторы сохраняют свою энергию как электрическое поле, а не химикаты, которые подвергаются реакциям, их можно перезаряжать снова и снова. Они не теряют способность удерживать заряд, как обычно делают батареи. Кроме того, материалы, используемые для создания простого конденсатора, обычно не токсичны.
Это означает, что большинство конденсаторов можно выбросить в мусор, когда устройства, которые они подают, отбрасываются. В последние годы инженеры придумали компонент, называемый суперконденсатором. Это не просто конденсатор, который действительно, действительно хорош. Скорее, это своего рода гибрид конденсатора и аккумулятора.
С учетом этого соотношения полученную формулу можно представить в виде:
(3.6)
Эти формулы справедливы для однородного поля, заполняющего объем .
Энергия распределена по объему конденсатора равномерно. Следовательно, в единице объема поля содержится энергия
Итак, как суперконденсатор отличается от батареи? Суперконденсатор имеет две проводящие поверхности, такие как конденсатор. Они называются электродами, как в батареях. Но в отличие от батареи, суперконденсатор хранит энергию на поверхности каждого из этих электродов, а не в химических веществах.
Между тем, конденсатор обычно имеет непроводящий зазор между двумя проводниками. В суперконденсаторе этот промежуток заполнен электролитом. Это будет похоже на зазор между электродами в батарее. Суперконденсаторы могут хранить больше энергии, чем обычные конденсаторы. Их электроды имеют очень большую площадь поверхности. Инженеры создают большую площадь поверхности, покрывая электрод очень большим количеством очень маленьких частиц. Вместе частицы создают прочную поверхность, которая имеет гораздо большую площадь, чем плоская пластина.
(3.7)
Выражения (3.7) определяют плотность энергии электрического поля.
Формулы (3.7) справедливы для любого
электрического поля. Если поле неоднородно,
то плотность энергии в некоторой точке
определяется по формулам (3.7) подстановкой
значений
(или
)
ив этой точке.
Зная плотность энергии в каждой точке, можно найти энергию поля, заключенную в любом объеме . Для этого нужно вычислить интеграл
(3.8)
Примеры решения задач
Задача 1 Четыре одинаковых точечных заряданаходятся в вершинах тетраэдра с ребром. Найти энергию взаимодействия зарядов этой системы.
способ. Энергия взаимодействия каждой пары зарядов здесь одинакова и равна
.
Как видно из рисунка, всего таких взаимодействующих пар шесть, поэтому энергия взаимодействия всех точечных зарядов данной системы
.
2. способ.
,
где потенциал
в месте нахождения одного из зарядов,
равен
.
.
Задача 2
(С.3.114)
Точечный заряд= 1 мкКл помещается в центре шарового
слоя из однородного и изотропного
диэлектрика с= 3. Внутренний радиус слоя= 100 мм, внешний= 200 мм. Найти энергию
,
заключенную в пределах диэлектрика.
Напряженность поля в диэлектрике
.
Разобьем диэлектрик на шаровые слои
радиуса
и толщины
.
Объем слоя
.
Плотность энергии в слое
Энергия, заключенная в слое
:
Проинтегрировав это выражение по в пределах отдо, найдем энергию, заключенную в диэлектрике:
Задача 3 Найдем работу, которую надо совершить против электрических сил, чтобы удалить диэлектрическую пластинку из плоского заряженного конденсатора. Предполагается, что зарядконденсатора остается постоянным. Емкость конденсатора без диэлектрика равна.
Работа против электростатических сил в этой системе пойдет на приращение ее электрической энергии:
,
где
- энергия поля между обкладками
конденсатора при наличии диэлектрика,
- при отсутствии диэлектрика. Отсюда
.
Задача 4
(С 3.111)
Зарядраспределен равномерно по объему шара
радиусом.
Полагая=1, найти электрическую энергию шара
,
а также отношение энергии,
локализованной внутри шара, к энергиив окружающем пространстве.
Прежде всего найдем с помощью теоремы Гаусса поле внутри и вне шара:
(
);
(
).
Теперь вычислим электрическую энергию шара:
Отсюда следует:
;
.
Тесты
1. Емкость плоского конденсатора пропорциональна:
1. расстоянию между его пластинами. 2. отношению площади его пластин к расстоянию между ними. 3. произведению площади его пластин на расстояние между ними. 4. заряду пластин. 5. потенциалу пластин .
2. Напряженность электрического поля внутри проводника:
1. определяется объемной плотностью заряда в проводнике. 2. равняется нулю. 3. определяется зарядом на поверхности проводника. 4. определяется потенциалом проводника. 5. зависит от напряженности электрического поля в пространстве, окружающем проводник.
3. Три конденсатора одинаковой емкости соединены параллельно. Результирующая емкость получается
1. равной емкости каждого из конденсаторов. 2. в три раза меньше емкости каждого из конденсаторов. 3. в три раза больше емкости каждого из конденсаторов.
4. Электроемкость проводника зависит от:
1. формы и размеров, 2. площади поверхности, 3. массы и рода вещества, 4. заряда и напряжения, 5. свойств окружающей среды.
1.1., 2., 3. 2. 3., 4., 5. 3. 1., 2., 5. 4. 2., 3., 5.
5. Емкость батареи состоящей из пяти одинаковых конденсаторов емкостью 1 мкФ, изображенной на рисунке равна:
1. 3,5 мкФ 2. 0,286 мкФ 3. 5 мкФ 4. 0,2 мкФ
6. Взаимной электроемкостью тел называют:
7. Плоский воздушный конденсатор подключили к источнику тока, а затем не отключая от источника, погрузили в керосин с диэлектрической проницаемостью, равной 2. Найти отношение заряда, первоначально находившегося на обкладках конденсатора, к конечному заряду.
1. 0,5 2. 1 3. 2 4. 4.
8. Разность
потенциалов между обкладками конденсаторов
емкостью
мкФ
изменилась на 175 В. Определите изменение
заряда конденсатора.
1.
Кл
2.
Кл
3.
Кл
4.0.
9. Указать неправильную формулу для электроемкости плоского конденсатора.
1. 2.3.4.;
10. Конденсатор имеет емкость
пФ.
Какой заряд находится на каждой из его
обкладок, если разность потенциалов
между ними
В?
1.
Кл 2.
Кл
3.
Кл
4.эВ.
11. Потенциал φ, заряд qи емкость уединенного проводника связаны соотношением:
1.
2.
3.
4.
.
12. Изменится ли заряд конденсатора, подключенного к источнику напряжения, если раздвинуть его пластины?
1. заряд конденсатора увеличится 2. заряд конденсатора не изменится 3. заряд конденсатора уменьшится 4. заряд конденсатора не зависит от его емкости 5. заряд конденсатора не зависит от расстояния между пластинами .
13. Вектор напряженности электростатического поля:
1. ортогонален эквипотенциальной поверхности 2. направлен по касательной к эквипотенциальной поверхности 3. направлен под углом π./4 к эквипотенциальной поверхности, 4. может иметь любое направление.
14. Внутри полой проводящей сферы помещен электрический заряд. Электрическое поле будет существовать:
1. и вне и внутри сферы 2. только вне сферы 3. только внутри сферы 4. ни там, ни там.
15. Электроемкость С уединенной сферы радиуcаRв среде равна:
1.
2.
3.
4.
16. Между обкладками конденсатора, на концах которого поддерживается постоянная разность потенциалов, поместили слой диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε. Напряженность поля в диэлектрике по отношению к напряженности поля вне его:
1.увеличилась в ε раз 2. уменьшилась в ε раз 3.обратилась в нуль 4. не изменилась .
17. Для проводника, помещенного в электростатическое поле, характерно:
1. отсутствие поля внутри проводника 2. усиление поля внутри проводника 3. ослабление поля вблизи острия проводника 4. силовые линии поля направлены по касательной к поверхности проводника 5. потенциал проводника максимален на его поверхности.
18. Изменится ли энергия заряженного воздушного конденсатора, если, при отключенном источнике, раздвинуть его пластины?
1. Изменится за счет энергии внешних сил, совершающих работу по раздвижению пластин. 2.Не изменится, так как заряд на конденсаторе не изменяется 3.Нельзя дать однозначный ответ, так как не известны численные значения исходных данных 4.Энергия уменьшится .
19. Потенциальная энергия взаимодействия пластин заряженного плоского конденсатора (указать неверный ответ):
1.
2.
3.4.
,
где и– заряд и потенциал первой пластины,и– заряд и потенциал второй пластины; 5. все перечисленные варианты правильные.
20. Как изменится энергия заряженного конденсатора, не отключенного от источника, если уменьшить расстояние между обкладками в два раза? .
1. уменьшится в 2 раза 2. увеличится в 2 раза 3. не изменится 4. увеличится в 4 раза 5. уменьшится в 4 раза.
21. Плотность энергии wэлектростатического поля с напряженностьюEв среде с диэлектрической проницаемостью ε равна:
1.
2.
3.
4.
.
22. Какую из формул нельзя использовать для расчета энергии заряженного конденсатора?
1.
2.
3.
4.
Соединение конденсаторов бывает последовательным и параллельным.
1) Последовательное соединение.
При последовательном соединении заряды на всех конденсаторах одинаковые, а напряжения разные (рисунок).
Рисунок. Последовательное соединение конденсаторов.
Мы имеем:
В итоге получаем
2) Параллельное соединение.
При параллельном соединении напряжения на всех конденсаторах одинаковые =U, а заряды – разные (рисунок ниже).
Рисунок. Параллельное соединение конденсаторов.
В итоге имеем:
Энергия системы неподвижных точечных зарядов.
Как мы уже знаем, силы с которыми взаимодействуют заряженные тела, являются потенциальными. Следовательно, система заряженных тел обладает потенциальной энергией. Когда заряды удалены друг от друга на бесконечность, они не взаимодействуют. Положим в этом случае их энергию равной нулю.
Рисунок. К определению энергии системы зарядов.
Рассмотрим сначала систему, состоящую из двух точечных зарядов (рисунок). Cблизим заряды на заданное расстояние r . При этом мы совершим работу против сил электрического поля, которая пойдет на увеличение потенциальной энергии системы. Сближение зарядов можно произвести, приближая q 2 к q 1 либо q 1 к q 2 . В обоих случаях совершается одинаковая работа:
В последней формуле - потенциал поля 1-го заряда в том месте, где находится второй заряд;- потенциал поля второго заряда в том месте, где находится первый заряд. С учетом сказанного, эту формулу можно записать также в виде:
Рисунок. Система трех неподвижных точечных зарядов.
Нетрудно убедиться в том, что потенциальная энергия системы трех неподвижных точечных зарядов (рисунок выше) может быть представлена в виде:
В общем случае системы n неподвижных точечных зарядов энергия системы определяется по формуле:
Энергия заряженного проводника и заряженного конденсатора.
Поверхность заряженного проводника (рисунок ниже) при равновесии зарядов является эквипотенциальной (φ i = φ = const). Следовательно, энергия заряженного проводника : , гдеq - заряд проводника.
Рисунок. Заряженный проводник.
Конденсатор представляет собой пару заряженных проводников (рисунок), поэтому имеем:
Рисунок. Заряженный конденсатор.
А поскольку заряд , тоэнергия заряженного конденсатора может быть представлена одной из трех формул:
Энергия электростатического поля.
Выразим энергию заряженного конденсатора через величины, характеризующие электрическое поле, локализованное в пространстве между его обкладками – напряженность поля Е и объем V, занятый полем. Имеем для напряженности поля:
Воспользовавшись формулой для емкости плоского конденсатора , находим:
, где - объём конденсатора, откуда следует, что
Мы видим, что энергия электрического поля прямо пропорциональна квадрату его напряженности Е и объёму V , занятому полем. Величину энергии поля, отнесенной к единице объема, называют плотностью энергии :
Плотность энергии электрического поля.